A กระบวนการสุ่ม คือหน่วยทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แทนการเปลี่ยนแปลงของระบบตามเวลาภายใต้กฎของความน่าจะเป็น แทนที่จะเป็นกฎเชิงกำหนด ต่างจากตัวแปรสุ่มเพียงตัวเดียว เราได้กำหนดมันอย่างพื้นฐานว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่ม $\{X_n : n \in T\}$ ที่จัดลำดับตามเวลา ในบทเรียนนี้ เราจะเน้นไปที่ การเดินแบบสุ่มอย่างง่าย (SRW)—โมเดลในช่วงเวลาที่แยกเป็นช่วงๆ จำลองผลตอบแทนของนักพนัน เริ่มต้นจากค่าเริ่มต้น ($a$) และก้าวไปข้างหน้าผ่านการพนันที่อิสระต่อกัน
1. กลไกของการเดินแบบสุ่มอย่างง่าย
เราแสดงสถานะของการเดินที่เวลา $n$ ด้วยผลรวมของค่าเพิ่มเติมที่อิสระต่อกัน:
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
โดยที่แต่ละ $Z_i$ แทนผลลัพธ์ของการพนัน: $+1$ (ชนะ) ด้วยความน่าจะเป็น $p$ และ $-1$ (แพ้) ด้วยความน่าจะเป็น $q = 1-p$
ให้ $\{X_n\}$ เป็นการเดินแบบสุ่มอย่างง่าย หาก $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ $-n \leq k \leq n$ และ $n + k$ เป็นเลขคู่ แล้วความน่าจะเป็นที่จะอยู่ที่สถานะ $a+k$ หลังจาก $n$ ขั้นตอน คือ:
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
จุดสำคัญที่ควรระวัง: สำหรับค่า $k$ อื่นๆ (เมื่อ $n+k$ เป็นเลขคี่ หรือ $|k| > n$) จะได้ว่า $P(X_n = a + k) = 0$ การตรวจสอบคู่/คี่นี้ ทำให้มั่นใจได้ว่า คุณสามารถเข้าถึงสถานะเฉพาะบางสถานะเท่านั้น ตามจำนวนขั้นตอนที่ก้าวไป
2. ค่าคาดหมายและความยุติธรรม
เส้นทางเฉลี่ยของกระบวนการขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็น $p$ ค่าคาดหมายที่เวลา $n$ คือ:
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- เกมที่ยุติธรรม ($p = 1/2$): กระบวนการนี้เป็น มาร์ติงเกล. ในภาพรวม ผลตอบแทนคงที่: $E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$
- เกมที่ไม่ยุติธรรม ($p < 1/2$): กระบวนการจะเลื่อนลงสู่ความพินาศ
- เกมที่ได้เปรียบ ($p > 1/2$): กระบวนการจะเลื่อนขึ้น
3. บริบทที่กว้างขึ้น
แม้จะมีการเดินแบบสุ่มอย่างง่าย (SRW) ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมแบบไม่ต่อเนื่อง กระบวนการสุ่มก็ครอบคลุมโมเดลต่อเนื่องด้วย ตัวอย่างเช่น กระบวนการปัวซอง ($N_t$) มีคุณลักษณะของค่าเพิ่มที่อิสระต่อกัน โดยที่ $P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$ เรายังเห็นพฤติกรรมเหล่านี้ในกระจายเป้าหมายสำหรับการสุ่มแบบ MCMC เช่น $f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$ กระบวนการเหล่านี้มักใช้สัญลักษณ์การเปลี่ยนสถานะ เช่น $v_1 = v_0 A$